Р : (14.8) Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4. Фиг. 14.4. Потенциал тяготеющего сферического слоя радиусом а. Потенциал отрицателен, равен нулю на бесконечности, падает как 1/ r , пока r не станет равным а , и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен — Gm / r ( m — масса слоя), что полностью совпадает с потенциалом точки с массой m , помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным — Gm / a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет : если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы двигаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняемая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что работа передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий интеграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова , значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил. В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна. Пусть потенциальная энергия тела в точке ( x, y, z ) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x -компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у - и z -компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние Δ x , то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x -компоненте силы, умноженной на Δ x (если Δ x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой: (14.9) Мы просто применили формулу ∫ F · d s =-Δ U для очень малых расстояний. Теперь разделим на Δ x и обнаружим, что сила равна (14.10) Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при Δ x , стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых Δx. Мы узнаем в правой